Kanepe Problemi Ve Matematikçilerin Çözümü
Matematikçiler ardından 58 yıl boyunca hareketli kanepelerin en büyük kanepe hangisi olabilir sorusuna yanıt aradı. Geometri’nin “hareketli kanepe problemi”, dar bir koridorda köşeyi dönmeden sıkışmadan dönebilecek en büyük şekli sormaktadır. Bu sorun, Seul’deki Yonsei Üniversitesi’nde bir postdoc olan Jineon Baek’in kasım ayında çözdüğünü iddia ettiği bir makaleyi çevrimiçi olarak yayınlamasıyla neredeyse 60 yıl boyunca çözümsüz kaldı. Baek’in kanıtı henüz detaylı bir hakem incelemesinden geçmemiş olsa da, Baek’i ve hareketli kanepe problemi hakkında bilgisi olan matematikçilerden gelen ilk değerlendirmeler iyimser görünüyor. Ancak zaman gösterecek ki Baek’in neden Ross Geller’ın Friends dizisinde söylediği bir kelimeyi yazmak için 119 sayfa gerekti.
Bu çözüm muhtemelen taşınma gününde size yardımcı olmayacak, ancak sınır matematiği daha soyut hale geldikçe, matematikçiler, herkesin anlayabileceği çözülememiş problemlere özel bir sevgi besliyor. Aslında, popüler matematik forumu MathOverflow, “Herkesin anlayabileceği, pek ünlü olmayan, uzun süredir açık olan problemler” listesini tutuyor ve hareketli kanepe problemi şu anda listenin ikinci sırasında yer alıyor. Yine de, her bir kanıt anlayışımızı genişletir ve hareketli kanepe problemi çözmek için kullanılan teknikler muhtemelen yol boyunca diğer geometrik bulmacaları çözmeye yardımcı olacaktır.
Bu problemi çözmek için, Kanadalı matematikçi Leo Moser’ın 1966’da resmen sorduğu kurallar, bir koridorda köşeyi dönmek için bir şeklin kullanılmasını gerektirir. Kanepe herhangi bir geometrik şekil olabilir; gerçek bir kanepeye benzemek zorunda değil. Hem şekil hem de koridor iki boyutludur. Kanepe ağırlığı kaldıracak kadar ağır olduğunu hayal edin ve sadece kaydırabilirsiniz.
## Matematikçilerin Tarihi Çabaları
Matematikçilerin bu problem üzerine döktükleri yoğun çaba, onların hiç de tembel olmadığını ortaya koymaktadır. Boş bir koridorda karşı karşıya kalan bir kişi, bu alandan en büyük şekli ne kadar sıkıştırabilecektir? Koridorun her bir bacağı bir birim genişliğinde ölçülürse (özel birimi önemli değil), o zaman koridorun içinden kolayca bir bir birimlik kareyi kaydırabiliriz. Kareyi uzatarak bir dikdörtgen oluşturmak anında başarısız olur, çünkü koridordaki kıvrıma ulaştığında dönme alanı kalmaz.
Matematikçiler, kavisli şekilleri devreye sokarak daha büyük şekiller elde edebileceklerini fark ettiler. Bir çapı (düz taban) 2 olan bir yarım daireyi düşünün. Köşeye çarptığında, büyük bir kısmı hala koridorun birinci bacağına sarkar, ancak yuvarlak kenar, köşeyi temizlemek için yeterli alan bırakır.
Hedefin, köşeyi dolaşan en büyük “kanepe”yi bulmak olduğunu unutmayın. Lise geometri formüllerimizi tozlayarak, yarı dairenin alanını π/2 olarak hesaplayabiliriz, yani yaklaşık 1.571. Yarı daire, sadece 1 alanına sahip olan kareden önemli bir iyileşme sağlar. Üzücü bir şekilde ikisi de bir oturma odasında garip görünebilir.
## Geleceğe Yönelik İlerlemeler
Hareketli kanepe problemi çözümü, bir şeklin boyutunu optimize etmekle kalmaz, aynı zamanda o şeklin geçtiği yolu da optimize etmek gerektirir. Kurulum, iki tür hareketi mümkün kılar: kaydırma ve döndürme. Kare kanepe sadece kaydırırken, yarı daire kaydı, ardından köşede döndü ve ardından diğer tarafta tekrar kaydı. Ancak nesneler aynı anda kaydırabilir ve dönebilir. California Üniversitesi, Davis’ten matematikçi Dan Romik, problemin bir çözümünün hem kaydırma hem de döndürme hareketlerini aynı anda optimize etmesi gerektiğini belirtti.
Britanyalı matematikçi John Hammersley, yarı daireyi uzatarak bir köşeyi ele almak için bir parça çıkartırsanız, daha büyük bir kanepe satın alabileceğinizi keşfetti. Dahası, Hammersley’nin kanepe, bir kaydırma artı dönme hareketinden faydalanır. Ortaya çıkan kanepe, bir sabit hat telefonuna benziyor.
Farklı değişkenleri optimize etmek, yaklaşık 2.2074 olan bir alanla sonuçlanan bir kanepe üretir. Bu, yaklaşık olarak bir aşk koltuğundan bir koltuk takımına taşınma gibi büyük bir yükseltmedir. Ancak ilerleme burada 24 yıl durdu. Sonraki önemli iyileşme ise sonuncusu olacaktı. 1992’de Joseph Gerver, hareketli kanepe problemi çözümü olarak kabul edilen bir matematik marifeti ortaya koydu.
Bu, yalnızca biraz daha büyük olan Gerver’ın nispeten basit kanepe, optimalden yaklaşık .012 daha kısa olan Hammersley’in kanepe ile neredeyse aynı görünüyor. Gerver’ın keşfinin alanı, 2.2195 birim ölçmektedir. Şaşırtıcı bir şekilde, Hammersley’in nispeten basit kanepe, en iyinin hemen hemen optimuma ulaştığını düşündü. Ancak, o ve başkaları 32 yıl boyunca başka kimseye kanıtlayamadı.
Baek, 2024 yılında doktorasını tamamladı ve hareketli kanepe problemi üzerine tezini yazdı, birkaç aşamalı görüş sundu. Aynı yıl, tüm yeni fikirlerini bir araya getirerek, Gerver’ın sıkışıp kalan kanepe problemi çözümüne sığabilecek en büyük kanepe olmadığını kanıtlayan etkileyici bir eser ortaya koydu. Uzun süredir devam eden bir problemi çözmek, özellikle kariyerinin başındaki bir matematikçi için bir rüyadır. Eğer Baek’in çalışması eleştiriye dayanabilirse, muhtemelen profesörlükler için talep görecektir. Eğer mobilya yapımına yönelmezse.
