Matematikte Çözülemeyen 9 Gizemli Soru
Matematikçiler, araştırmalarını bir bahçe gibi düşünürler ve çözülememiş sorunları filizlenmeyi bekleyen tohumlar olarak görürler. Bazı sorunlar lale soğanlarına benzer. Matematikçiler bu sorunları çözmek için çalıştıkça, yeraltında sıkışıp kaldıklarını düşünerek, hiçbir zaman parıltılı bir sonuç elde edip etmeyecekleri konusunda izleyicileri şüpheye düşürürler. Ancak eğer sonunda çiçek açarlarsa, ışıklarıyla bütün bahçeyi canlandırırlar.
Diğer çözülemeyen matematik gizemleri ise ağaç dallarına benzer. Ağaçlar kendileri – matematik alanındaki geniş konunun içindeki alanlar – sağlam ve yükselen yapıya sahiptir, kurulmuş bulgulara sağlam bir biçimde kök salmışlardır. Dallar ağaçları büyütmek – alanları genişletmek – ve bu sorunları bir bir çözmek, ağaçları göğe doğru itmek anlamına gelir.
Hala çözüme kavuşmamış matematiksel gizemler, toprağa benzer – görünüşte sıradan matematiksel malzeme, görünüşte farklı bitkileri, matematik alanlarını bağlayan ve görünüşte bağdaşmayan bitkileri bir araya getirir ve bütün bahçeyi beslemeye yardımcı olur.
Matematikçilere şu anda en çok merak uyandıran açık soruların neler olduğunu ve bu sorunları çözmenin sonuçlarının ne olabileceğini sorduk. Onların cevapları aşağıda yer almaktadır.
Tek Sayıda Mükemmel Sayılar Var Mı?
Benim en sevdiğim problem aynı zamanda matematikteki en eski bilinen problemdir: Tek mükemmel sayılar var mı? Bir mükemmel sayı, kendi uygun bölenleri toplamı olan bir sayıdır; örneğin 6 = 3 + 2 + 1 veya 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1. Bilinen tüm mükemmel sayılar çifttir. Çift mükemmel sayılar da ilginçtir çünkü en büyük asal sayılarla ilişkilidirler.
Bu problem cezbedici çünkü ne bekleyeceğinizi bile bilmiyorsunuz. Ben tek mükemmel sayıların var olduğuna inanıyorum ama çok, çok büyük olduklarını ve zeki bir araştırmanın önümüzdeki 100 yıl içinde bir tanesini bulacağını düşünüyorum. Bu çaba tamamen umutsuz değil. Büyük bir sayıların içinde zeki bir şekilde avlanmak için yöntemler vardır. – Oliver Knill, Harvard Üniversitesi
Tam Sayıları Nasıl Çarparız?
Örneğin, bir tam sayı n’nin iki asal sayı, p ve q’nun çarpımı olduğunu varsayalım. Eğer size n’yi (örneğin ondalık gösterimde) yazarsam, p ve q’yu nasıl geri alabilirsiniz? Bu görev için bir bilgisayarda programlayabileceğiniz etkili genel bir algoritma nedir? (Burada “verimli” ile algoritmanın çalışma süresinin n’nin boyutuyla mütevazı bir şekilde büyümesi, örneğin doğrusal veya kareli olarak, anlaşılır.) Bazı etkisiz algoritmalar bildiğimiz halde, bu algoritmaların çalışma süreleri üstel (veya neredeyse öyle) büyür.
Uygulamada, rastgele yüzlerce haneli tam sayıları çarpmak mümkün değildir. Bu imkansız mı? Yoksa sadece büyük bir yeni fikir mi eksik? Bu problemde çok ilginç birçok yön var: İnanılmaz derecede basit ve sayılara ilişkin olmasına rağmen, sayılar kendileri hakkında derin ve geniş bir fikirler sistemi geliştirmiş olan bir zeminde gelişmiştir. Örneğin, x5 – x + 1 = 0 gibi masum bir denklemi çözmenin zorluğu, grupların teorisiyle sonuçlanmıştır. – Katherine Stange, Colorado Üniversitesi Boulder
Kummer-Vandiver Sanısı
Beni büyüleyen çözülememiş matematik problemlerinden biri, sayılar teorisi alanında Kummer-Vandiver sanısıdır. Bu, sınıfların sayılabilirliği ile ilgili bir konudur ve asal sayılara olan bölünebilirliği içerir.
Erken dönemlerde, sayıları öğrendiğimizde, onları asal sayılara kadar parçalara böldüğümüzü ve bu ayrışımın bu türdeki herhangi bir tam sayı için benzersiz olduğunu keşfederiz. Örneğin, 18 = 2 × 3 × 3, ve bu, onu asal çarpanlara bölmek için tek ve tek yoldur.
Daha soyut sayı sistemlerine geçtikçe, benzersiz ayrışımın başarısız olduğu durumlar olabilir. Örneğin, eğer √-5 gibi hayali sayıları sayı sistemimize dahil edersek, 6 = 2 × 3 eşitliğinin yanı sıra 6 = (1 + √-5)(1 – √-5) eşitliği de görebiliriz ve bu başka bir ayrışım şeklidir. Bu soyut sayı sistemlerinde benzersiz ayrışımın başarısızlığını ölçen bir sınıf numarası vardır. Sınıf numarası 1, ayrışımın benzersiz olduğu anlamına gelirken, daha yüksek bir sınıf numarası bir sayının nasıl ayrıştırılabileceğinin birden fazla yolunu gösterir.
Döngüsel alanlar, 1’in kökleri olan hayali sayıları sayı sistemleridir – belirli bir güçte yükseltildiklerinde 1’e eşit olan sayılar. Bu, bir daire üzerindeki noktalar gibi düşünülebilir, çarpma onları dairenin etrafında döndürür. Bu sayı sistemleri karmaşık sayılarda yaşar, ancak maksimum gerçel alt kümelerini düşünebiliriz, rasyonel sayılara bir p-th kök eklediğimizde elde ettiğimiz kısmı. – Mona Merling, Pennsylvania Üniversitesi
İlginç Cebirsel Altuzaylar Nasıl Oluşturulur?
Ben cebirsel geometri üzerine çalışıyorum, özellikle de karmaşık sayılar üzerine. Bir cebirsel çeşit, belirli çok sayıda değişken içeren verilen polinom denklemlerinin sıfır yerleridir. Karşılaştığımız en önemli sorunlardan biri, verilen bir cebirsel çeşidin ilginç altuzaylarını nasıl oluşturacağımızdır? Tabii ki, önemli olan “ilginç” çünkü sadece ek denklemler ekleyerek altuzaylar oluşturabiliriz, ancak bunlar “ilginç” olmayabilir.
Hodge sanısı, W.V.D. Hodge tarafından 20. yüzyılın ortalarında formüle edildi ve sonradan Alexander Grothendieck tarafından genelleştirilen Hodge sanısı haline getirildi. Eğer doğruysa, bu sanılar, Hodge yapılarının inanılmaz güzel ve iyi yapılandırılmış bir teorisini, topoloji ile cebirsel geometri arasında mükemmel bir köprü yapar. Formülasyonları biraz sofistike bilgi gerektirse de, güçlü bir öngörü gücüne sahiptir ve çok basit örnekler üzerinde test edilebilir. Örneğin, genelleştirilmiş Hodge sanısı, en az 2d boyutlu proje uzayındaki bir derece d hypersurface’lerinde çok sayıda ilginç yüzeyin varlığını öngörür. Bu küçük özel durum, herhangi bir topoloji kavramına başvurmadan ifade edilebilen, sadece çok küçük d değerlerine kadar tamamen açık durumlar için geçerlidir. – Claire Voisin, Fransız Ulusal Bilimsel Araştırma Merkezi (CNRS)
Binlerce Yılın Araştırmasına Rağmen, Diyofant Denklemleri Son Derece Zor
Okulda, bir çarpanı x5 – x + 1 = 0 gibi bir masum denklemdeki çözümleri öğreniriz.
Benim kariyerimin çoğunu, y = x5 – x + 1 gibi bir denklem gibi bir başka bilinmeyenle ilgili cebirsel denklemler üzerinde düşünerek geçirdim. Çoğu zaman, biri size bu tür bir denklemi verdiğinde, bu denklemin tüm rasyonel çözümlerini bulmak oldukça zordur. (Eğer bir şeyler denemeye alışkınsanız, özel bir çözüm olan x = 0, y = 0’ı bulmuş olabilirsiniz.)
Ancak, alanın ana problemi, herhangi bir tek bir denklemin ya da hatta bir bütün denklem sınıfının çözümüyle ilgilenmez. Bu tür bir şeyi yazamama yeteneğimiz şaşırtıcı derecede sınırlıdır. – Minhyong Kim, Uluslararası Matematik Bilimleri Merkezi
Dört Boyutlu Polihedronlar Kaç Yüze Sahip Olabilir?
Ben polihedronları (düz kenarlı 3D şekiller) çalışmayı seviyorum. “Metrik” sorularla ilgilenmiyorum, yani hacim veya kenar alanı sorularıyla. Benim ilgilendiğim şey, polihedronların “kombinatorik” yönüdür, yani köşelerin, kenarların ve yüzlerin nasıl bir araya geldiğidir. Muhtemelen platonik katıları duymuşsunuzdur, kenarları eşkenar çokgenler olan ve her köşede aynı sayıda kenarın birleştiği üç boyutlu polihedronlar (örneğin küpler ve dodekaedronlar) düşünün. Ancak 3D polihedronların dışında da geçerli olan çok daha ilginç şekiller vardır ve bu şekiller, optimizasyon ve grafikler gibi uygulamalarda önemli bir rol oynar.
Bu uygulamalar, 3D polihedronları üç değişkenli lineer eşitsizliklerin çözümleri olarak tanımlayabilir. Ancak bu uygulamalar genellikle üçten fazla değişken kullanır. Peki dört değişkenli bir şey ne olacak? Buna dört boyutlu bir polihedron denir. Belki de hiperyörüngeyi duymuşsunuzdur? Bu bazen, iç içe geçmiş bir küp olarak tasvir edilirken karşılıklı köşeler birleştirilir. Dört boyutlu polihedronlar köşeleri, kenarları ve iki boyutlu yüzleri vardır. Ayrıca 3D yüzlerine sahiptirler; bu yüzleri “yüzler” olarak adlandıracağım. Bir dört boyutlu polihedronun kaç tane yüzü, kenarı ve köşesi olabilir?
Üç boyutlu polihedronlarla ilgili temel bir soru, kaç tane köşe, kenar ve yüze sahip olabilecekleridir? Yüzler, kenarlar ve köşelerin sayılarını temsil eden v, e ve s ise, o zaman v – e + s = 2, v ve s her biri en az 4’tür, 2e ≥ 3v ve 2e ≥ 3s’dir. Şaşırtıcı olan şey, bana bu koşulları sağlayan herhangi üç tam sayıyı verirseniz, v, e ve s ile bir polihedron inşa edebilirim.
Dört boyutlu polihedronların kaç yüze, kenara ve köşeye sahip olabileceği sorusu beni yıllardır rahatsız ediyor. – Margaret Bayer, Kansas Üniversitesi
HRT Sanısı
1996 yılında Christopher Heil, Jayakumar Ramanathan ve Pankaj Topiwala, şimdi Heil-Ramanathan-Topiwala (HRT) sanısı olarak bilinen bir soruyu ortaya attılar. Herhangi bir sonlu zaman-frekans kayması kümesinin, gerçek çizgideki bir sıfırdan farklı, karesel entegrasyonlu bir işlevin lineer olarak bağımsız olduğunu belirttiler.
HRT sanısı, doğrusal bağımsızlık kavramını kullanan basit bir sorudur. Bu nedenle HRT sanısı çok kolay bir şekilde ifade edilir ancak çözülmesi son derece zordur. Basit terimlerle, bir sonlu vektör kümesi, aralarında yapılan lineer birleşimin sadece sıfır vektörü olması durumunda, tüm katsayıların sıfır olduğu, yani herhangi bir lineer kombinasyonun sadece sıfır vektörü olması durumunda lineer olarak bağımsızdır. HRT sanısı için bu vektörler, sabit bir işlevin zaman-frekans kaymaları tarafından oluşturulan işlevlerdir. Özellikle, bir işlevin bir noktadaki (p, q) zaman-frekans kayması, işlevi ilk koordinat p ile çevirerek ve frekansı q olan bir karmaşık üstel fonksiyonla çarparak elde edilen işlevdir.
Şimdiye kadar HRT sanısı üzerindeki ilerleme sınırlı kalmıştır ve henüz geçerliliğine kesin bir cevap sunmamaktadır. Ayrıca, sanının özel durumlarının bilinen çözümleri, matematikten farklı alanlardan araçlar kullanır ve genellikle iki kategoriye ayrılır. İlk kategoride, zamanda-frekans parametreleri olarak kullanılan noktalara kısıtlamalar getirilirken, işlev rastgele seçilir. Örneğin, kafes içindeki noktalardan seçildiğinde sanı doğrudur, bu durum her zaman herhangi üç farklı nokta ile ilgilenirken geçerlidir. İkinci kategoride, işlev üzerinde kısıtlamalar getirilirken, nokta kümesi herhangi bir şekilde kalır. Ayrıca başka durumlar vardır ki, hem fonksiyona hem de nokta kümesine kısıtlamalar getirilir. Sanı, örneğin, herhangi bir rasyonel sıfır olmayan karesel entegrasyonlu bir işlev ve düzlemdeki dört farklı nokta kümesiyle ilgili olduğunda bile henüz çözülmemiştir. – Kasso Akochayé Okoudjou, Tufts Üniversitesi
Schoenflies Sorunu
